Mathematik


berlagerung zweier Sinuswellen 

Die allgemeine Fragestellung lautet mathematisch: 
sin x + sin y = ?? 

Additionstheoreme:

Substitution:

daraus folgt:

einsetzen ergibt:

(1a) und (2a) addiert:

Mathematische Darstellung einer Sinusschwingung 

y = A sin (+ φ) y - Elongation (Auslenkung)  
A - Amplitude
ω - Kreisfrequenz  ω = 2πf           
f - Frequenz, gemessen in Hz (Hertz, sec-1)     
φ - Phasenwinkel (in Bogenma)
y = f (t); die Sinusfunktion ist zeitabhngig

Einfache Flle der berlagerung zweier Schwingungen:
Die gleiche Schwingungsrichtung wird vorausgesetzt 

a - verschiedene Amplituden
y1 (t) = A1 sin (ωt+φ) und
y2 (t) = A2 sin (ωt+φ)
y1 (t) + y2 (t) = (A+ A2) sin (ωt+φ)     > Amplitudenaddition 

b - geringfgig verschiedene Frequenzen
y1 (t) = A1 sin (ω1t+φ)               A1= A2 = A ; ω1 â ω2 , > f1 â f2
y2 (t) = A2 sin (ω2t+φ)

Es entsteht eine Sinusschwingung mit zeitlich sich verndernder Amplitude > Schwebung
Die Dauer TS einer Schwebung ist die Zeit
- zwischen zwei Nulldurchgngen der Amplitude
- in der die Amplitude von + 2A auf - 2A geht
- in der von +1 auf -1 geht.
Es gilt: cos (0) = +1 und cos (π) = -1, somit
 , damit  und ;   
f1 -f2 = fS             fs ist die Schwebungsfrequenz
Beispiel f1 = 440 Hz, f2 = 443 Hz; die Schwebungsfrequenz betrgt 3 Hz

c - verschiedene Phasen
y1 (t) = A1 sin (ωt+φ1)  
y2 (t) = A2 sin (ωt+φ2)               A1 = A2 = A ;  f1 = f2 = f ;      φ1âφ2
nach (3) entsteht eine Schwingung gleicher Frequenz; die Amplitude A* ist konstant und betrgt A* â 2A  
 y (t) = A* sin( )

d - verschiedene Amplituden, verschiedene Phasen
y1 (t) = A1 sin (ωt+φ1)               A1 â A2 ;  f1 = f2;      φ1 â φ2
y2 (t) = A2 sin (ωt+φ2)
y (t) = A1 sin (ωt+φ1) + A2 sin (ωt+φ2);             nach (1) gilt :

y (t) = A1 [sinωt cosφ1 + cos ωt sinφ1] + A2 [sinωt cosφ2+cos ωt sinφ2]
(4)       y (t) = sinωt [A1 cosφ1 + A2 cosφ2] + cos ωt [A1 sinφ1 + A2 sinφ2]

Annahme: Bei berlagerung von y1 (t) und y2(t) ergibt sich eine Schwingung gleicher Frequenz.
Ansatz:
(5)       y(t) = A sin (ωt + φ)                A und φ sind zu bestimmen.
Aus (4) kann man formal ablesen:       
(6a) A sinφ = A1 cosφ1 + A2 cosφ2        und 
(6b) A cosφ = A1 sinφ1 + A2 sinφ2
tan φ = =               âDaraus kann man φ berechnen.â
(6a) quadriert:              (7a)      A2 sin2φ = (A1 cosφ1 + A2 cosφ2)2
(6b) quadriert:              (7b)      A2 cos2φ = (A1 sinφ1 + A2 sinφ2)2
Addieren von (7a) und (7b): +    _____________________________
(linke Seite)      A2 sin2φ + A2 cos2φ = A(sin2φ + cos2φ) = A2         (sin2φ + cos2φ =1)
                                                                             (rechte Seite)   A12 + A22 + 2A1A2 [cosφ1 cosφ2 + sinφ1 sinφ2
(7a) + (7b)
A2 = A12 + A22 + 2A1A2 [cosφ1 cosφ2 + sinφ1 sinφ2]

Anwenden der Additionstheoreme (cos (Î-β) = cosÎ cosβ + sinÎ sinβ) anwenden auf:
[cosφ1 cosφ2 + sinφ1 sinφ2] = cos(φ12);
(8) A2 = A12 + A22 + 2A1A2 cosÎφ (Cosinussatz der Trigonometrie) 

âdaraus lsst sich A berechnen.â 

Da A und φ bestimmt werden knnen, ist der Ansatz (5) besttigt.