Physik


Harmonische Schwingung  

Ist von Schwingungen, Oszillatoren oder einer Beschreibung von periodischen Ereignissen die Rede, wird immer wieder der Begriff "Sinuswelle" oder "Sinusschwingung" vorkommen. Warum gerade "Sinus"?  Diese sanft geschwungene Kurve lässt sich leicht erzeugen, indem man in der Hand einen Stift hält, mit dem Unterarm hin und her schwingt und auf ein Stück Papier zeichnet; den zeitlichen Verlauf  erhält man, indem man das Papier mit der freien Hand unter dem Stift weg zieht. Dass das Hin und her eines geeigneten Materials  einen -wenn auch nicht schönen- Klang erzeugen kann, ist erfahrbar: Man halte z. B. ein Lineal auf einer Tischplatte mit den Fingern der einen Hand fest und führe Energie in Form von Zupfen am freien Ende zu!

Alle elastischen Materialien lassen Schwingungen zu, beispielsweise Holz, Metall und natürlich die Luft selbst; auch elektrische Schaltungen sind schwingungsfähig, die Schwingkreise, zuerst im Radio angewandt, dann in zunehmenden Maß in sogenannten elektronischen Klagerzeugern, unter denen der "Synthesizer" (Keyboard) die vorherrschende Stellung einnimmt.
Wissenschaftlichen Zugang erhält man durch überlegungen zu einem Massepunkt, der verlustfrei an einer Spiralfeder auf und ab schwingt:

 
Das Hooksche Gesetz besagt, dass die Auslenkung y des Massepunktes proportional der auslenkenden Kraft F ist ("ut tensio, sic vis"):k : Materialkonstante (Federsteifigkeit)

Die Proportionalitätskonstante k der Feder ist vom Material abhängig. Das Minuszeichen besagt, dass durch das Auseinanderziehen der Feder eine rücktreibende Kraft aufgebaut worden ist. Nach Newton gilt:

m ist die Masse, a die Beschleunigung, die die Masse erfährt.
Gleichung 2.1 entsteht erst durch Umstellung von Gl. 2 und dann durch Ersetzen von F durch den Ausdruck von Gl.1.
Die Beschleunigung a wird nun als die 2.Ableitung der Strecke nach der Zeit aufgefasst (die 1. Ableitung wäre die Geschwindigkeit v):
Gleichsetzen von Gl. 2.1 und Gl. 3 ergibt:

anders ausgedrückt:

gängig ist es, Ableitungen nach der Zeit so abzukürzen:

Gl. 5 erhält nun die Gestalt

Das ist eine Differentialgleichung 2. Ordnung mit der Lösung

Jeder Schwingungsvorgang lässt sich durch Sinusschwingungen beschreiben, nicht nur dieser in obigem Beispiel. Der Wurzelausdruck ist eine Materialkonstante, die in anderen Fällen die Kreisfrequenz bedeuten kann oder aber Daten von Induktivität und Kapazität eines Schwingkreises etc...
Der cos ( = Kosinus-) Ausdruck ist nichts anderes als ein verschobener Sinuswert (siehe "Mathematik")
Diese Gleichung für die Harmonische Schwingung lässt sich noch vereinfachen:
Mit
(9)
und Einsetzen in Gl. 8 ergibt sich

(10) y = A sin (ωt + φ)

wobei φ der Phasenwinkel ist, d. h., er gibt die Stelle an, an der die Sinuskurve die Abszisse schneidet (mehr dazu in "Mathematik").
A und φ sind festgelegt durch Anfangsauslenkung und Geschwindigkeit. Das Feder-Masse-System arbeitet verlustfrei und schwingt (oszilliert) immer.
Durch die überlagerung (Superposition) von harmonischen Schwingungen entsteht wiederum eine Schwingung, die im Allgemeinen nicht harmonisch ist.
Eine Schwebung entsteht durch die überlagerung von zwei harmonischen Schwingungen mit fast gleicher Frequenz
Nach Fourier (1768 - 1830) lässt sich jede periodische Schwingung mit der Periodendauer T durch einen Summe von harmonischen Schwingungen darstellen: